مواد

• اقدامات
• برادری کے سوالات اور جوابات
• اشارے

دوسرے حصے

کیلکولس ریاضی کی ایک شاخ ہے جس کی حدود ، افعال ، مشتقات ، لازمی اور لامحدود سلسلہ پر مرکوز ہے۔ یہ مضمون ریاضی کا ایک بڑا حصہ تشکیل دیتا ہے ، اور بہت سے مساوات کو بیان کرتا ہے جو فزکس اور میکانکس کی وضاحت کرتی ہیں۔ شاید آپ کو کولکولس کو اچھی طرح سمجھنے کے لئے کسی کالج کی سطح کی کلاس کی ضرورت ہوگی ، لیکن یہ مضمون آپ کو شروع کرنے اور اہم تصورات کے ساتھ ساتھ تکنیکی بصیرت کو دیکھنے میں مدد فراہم کرسکتا ہے۔

اقدامات

حصہ 1 کا 1: کلکولوس کی بنیادی باتوں کا جائزہ لینا

1. 

   جانتے ہو کہ حساب کتاب اس بات کا مطالعہ ہے کہ حالات کیسے بدل رہے ہیں۔ کیلکولس ریاضی کی ایک شاخ ہے جو عام طور پر اصلی دنیا سے آنے والی تعداد اور لائنوں کو دیکھتی ہے اور نقشہ جات بتاتی ہے کہ وہ کس طرح تبدیل ہو رہے ہیں۔ اگرچہ یہ سب سے پہلے کارآمد نظر نہیں آتا ہے ، لیکن حساب کتاب دنیا میں ریاضی کی سب سے زیادہ استعمال شدہ شاخوں میں سے ایک ہے۔ کسی بھی وقت آپ کے کاروبار میں کتنی تیزی سے ترقی ہورہی ہے ، یا جہاز کے راستے کی منصوبہ بندی کر رہی ہے اور یہ کتنا تیز رفتار ایندھن جل رہا ہے اس کی جانچ کرنے کے ل the ٹولز رکھنے کا تصور کریں۔ انجینرنگ ، معاشیات ، شماریات ، کیمسٹری ، اور طبیعیات میں کیلکلس ایک اہم ٹول ہے ، اور اس نے بہت ساری حقیقی ایجادات اور دریافتیں پیدا کرنے میں مدد کی ہے۔

2. 

   
   
   یاد رکھیں کہ افعال دو اعداد کے مابین تعلقات ہیں اور حقیقی دنیا کے تعلقات کو نقشہ بنانے کے لئے استعمال ہوتے ہیں۔ افعال قواعد ہیں کہ نمبر ایک دوسرے سے کس طرح منسلک ہوتے ہیں ، اور ریاضی دان انہیں گراف بنانے کے لئے استعمال کرتے ہیں۔ ایک فنکشن میں ، ہر ان پٹ کی بالکل ایک آؤٹ پٹ ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر ، کی ہر قیمت میں آپ کو اگر اس کے بعد ایک نئی قیمت ملتی ہے تو پھر اگر تمام کیلکلس مطالعہ کرتا ہے کہ یہ دیکھیں کہ وہ کیسے بدلتے ہیں تو ، حقیقی دنیا کے تعلقات کو نقشہ بنانے کے لئے افعال کا استعمال کرتے ہوئے۔
   • افعال اکثر لکھے جاتے ہیں کیوں کہ اس کا مطلب یہ ہے کہ اس فنکشن میں ہمیشہ آپ کی تعداد میں 3 اضافہ ہوتا ہے اگر آپ ان پٹ 2 چاہتے ہیں تو لکھیں یا
   • افعال پیچیدہ حرکتوں کو بھی نقشہ بناسکتے ہیں۔ مثال کے طور پر ، ناسا کا ایک فنکشن ہے جس میں بتایا گیا ہے کہ راکٹ کتنا تیزی سے چلتا ہے اس پر مبنی ہے کہ وہ کتنا ایندھن جلاتا ہے ، ہوا کی مزاحمت اور خود راکٹ کے وزن پر۔

3. 

   
   
   انفینٹی کے تصور کے بارے میں سوچئے۔ انفینٹی تب ہوتی ہے جب آپ کسی عمل کو بار بار دہراتے ہیں۔ یہ کوئی مخصوص جگہ نہیں ہے (آپ لامحدودیت تک نہیں جاسکتے) ، بلکہ کسی نمبر یا مساوات کا سلوک اگر یہ ہمیشہ کے لئے کیا جاتا ہے۔ تبدیلی کا مطالعہ کرنا یہ ضروری ہے: آپ یہ جاننا چاہتے ہو کہ آپ کی گاڑی کسی بھی وقت کتنی تیز رفتار سے چل رہی ہے ، لیکن کیا اس کا مطلب یہ ہے کہ آپ موجودہ سیکنڈ میں کتنی تیزی سے تھے؟ ملی سیکنڈ۔ نینو سیکنڈ۔ اضافی عین مطابق ہونے کے ل You آپ کو وقت کی تھوڑی بہت مقدار معلوم ہوسکتی ہے ، اور اسی جگہ سے کیلکولس آتا ہے۔

4. 

   
   
   حدود کے تصور کو سمجھیں۔ ایک حد آپ کو بتاتی ہے کہ جب کوئی چیز انفینٹی کے قریب ہو تو کیا ہوتا ہے۔ نمبر 1 لیں اور اسے 2 سے تقسیم کریں۔ پھر اسے بار بار 2 سے تقسیم کرتے رہیں۔ 1 ، 1/2 ، 1/8 ، 1/16 ، 1/32 ، اور اسی طرح بنتا ہے۔ ہر بار ، یہ تعداد صفر کے قریب تر ہوتی جارہی ہے۔ لیکن یہ کہاں ختم ہوگا؟ صفر حاصل کرنے کے ل you آپ کو کتنی بار 1 سے 2 تقسیم کرنا پڑے گا؟ حساب کتاب میں ، اس سوال کا جواب دینے کے بجائے ، آپ نے ایک ترتیب دیا حد اس معاملے میں ، حد 0 ہے۔
   • کسی گراف پر حدود دیکھنے میں سب سے آسان ہیں - کیا وہ نکات ہیں جو گراف تقریبا چھوتا ہے ، مثال کے طور پر ، لیکن کبھی نہیں ہوتا ہے؟
   • حدود ایک بڑی تعداد ، لامحدودیت ، یا حتیٰ کہ موجود نہیں ہوسکتی ہیں۔ مثال کے طور پر ، اگر آپ ہمیشہ کے لئے 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... شامل کریں تو ، آپ کی حتمی تعداد بے حد بڑی ہوگی۔ حد لامحدود ہوگی۔

5. 

   الجبرا ، مثلثیات ، اور پری کیلکولس کے ریاضی کے ضروری تصورات کا جائزہ لیں۔ کیلکلس ریاضی کی بہت سی شکلوں پر استوار ہے جس کے بارے میں آپ طویل عرصے سے سیکھ رہے ہیں۔ ان مضامین کو مکمل طور پر جاننے سے حساب کتاب سیکھنے اور سمجھنے میں آسانی ہوگی۔
   • جغرافیائی ماڈل بنانا اور حجم کا مطالعہ کرنا استعمال ہورہا ہے انضمام۔ انضمام کیلکولس کی دوسری بڑی شاخ ہے۔

6. 

   جانئے کہ انضمام سے گراف کے نیچے کا علاقہ مل جاتا ہے۔ کسی بھی لائن کے نیچے کی جگہ کی پیمائش کے لئے انضمام کا استعمال کیا جاتا ہے ، جو آپ کو عجیب یا فاسد شکلوں کا رقبہ تلاش کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مساوات کو دیکھیں جو اوپر کی طرح لگتا ہے "U." آپ یہ جاننا چاہتے ہو کہ یو کے نیچے کتنی جگہ ہے اور آپ اسے ڈھونڈنے کے لئے انضمام کا استعمال کرسکتے ہیں۔ اگرچہ یہ بیکار معلوم ہوسکتا ہے ، لیکن مینوفیکچرنگ کے استعمال کے بارے میں سوچیں - آپ ایک ایسا فنکشن بناسکتے ہیں جو ایک نئے حص likeے کی طرح لگتا ہے اور اس حصے کا رقبہ معلوم کرنے کے لئے انضمام کا استعمال کرسکتے ہیں ، تاکہ آپ کو مناسب مقدار میں مادے کی آرڈر کرنے میں مدد ملے۔

7. 

   جانتے ہو کہ آپ کو ضم کرنے کے لئے ایک علاقہ منتخب کرنا ہے۔ آپ صرف ایک پورے فنکشن کو ضم نہیں کرسکتے ہیں۔ مثال کے طور پر ، ایک اخترن لائن ہے جو ہمیشہ کے لئے جاری رہتی ہے ، اور آپ پوری چیز کو مربوط نہیں کرسکتے ہیں کیونکہ یہ کبھی ختم نہیں ہوتا ہے۔ افعال کو مربوط کرتے وقت ، آپ کو ایک علاقے کا انتخاب کرنے کی ضرورت ہوتی ہے ، جیسے (2 اور 5 کے درمیان اور اس کے درمیان تمام x- اقدار)۔

8. 

   یاد رکھیں کہ مستطیل کا رقبہ کیسے تلاش کریں۔ ذرا تصور کریں کہ آپ کے پاس گراف کے اوپر ایک فلیٹ لائن ہے جیسے اس کے نیچے کا علاقہ ڈھونڈنے کے ل you ، آپ کو ایک مستطیل کا رقبہ تلاش کرنا ہوگا اور اس کی پیمائش کرنا آسان ہے ، لیکن یہ کبھی بھی ایسی منحنی خطوط پر کام نہیں کرے گا جنہیں آسانی سے مستطیل میں تبدیل نہیں کیا جاسکتا۔ .

9. 

   جانتے ہو کہ انضمام سے علاقے کو تلاش کرنے کے ل many بہت سے چھوٹے مستطیلیں شامل ہوجاتی ہیں۔ اگر آپ کسی منحنی خطوط کے بالکل قریب زوم کرتے ہیں تو ، یہ فلیٹ لگتا ہے۔ یہ ہر روز ہوتا ہے - آپ زمین کا وکر نہیں دیکھ سکتے کیونکہ ہم اس کی سطح کے بہت قریب ہیں۔ انضمام ایک منحنی خطوط کے نیچے لامحدود مستطیل بنا دیتا ہے جو اتنے چھوٹے ہوتے ہیں کہ وہ بنیادی طور پر فلیٹ ہوتے ہیں ، جو آپ کو ان کی پیمائش کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ایک منحنی خطے میں علاقے کو حاصل کرنے کے لئے ان سب کو ایک ساتھ شامل کریں۔
   • ذرا تصور کریں کہ آپ گراف کے نیچے بہت ساری چھوٹی سلائسیاں جوڑ رہے ہیں ، اور ہر ٹکڑے کی چوڑائی ’’ تقریبا ’‘ ‘صفر ہے۔

10. 

    لازم ہے کہ انٹیگرلز کو صحیح طریقے سے کیسے پڑھیں اور لکھیں۔ انٹیگرلز 4 حصوں کے ساتھ آتے ہیں۔ ایک عام لازمی اس طرح دکھائی دیتا ہے:
    
    
    • پہلی علامت ، انضمام کی علامت ہے (یہ دراصل ایک لمبی ایس ہے)۔
    • دوسرا حصہ ، آپ کا فنکشن ہے۔ جب یہ لازمی کے اندر ہوتا ہے ، تو اسے ربط کہا جاتا ہے انضمام
    • آخر میں ، آخر میں آپ کو بتاتا ہے کہ آپ کس متغیر کے سلسلے میں ضم کر رہے ہیں۔ کیونکہ فنکشن اس پر انحصار کرتا ہے جس کے متعلق آپ کو ضم کرنا چاہئے۔
    • یاد رکھیں ، آپ متغیر کر رہے ہیں متغیر ہمیشہ نہیں رہتا ہے لہذا محتاط رہیں جو آپ لکھتے ہیں۔

11. 

    انٹیگرلز کو تلاش کرنے کا طریقہ سیکھیں. انضمام بہت ساری شکلوں میں آتا ہے ، اور آپ کو ہر فعل کو مربوط کرنے کے لئے بہت سارے مختلف فارمولے سیکھنے کی ضرورت ہوگی۔ تاہم ، وہ سب مندرجہ بالا اصولوں پر عمل کرتے ہیں: انضمام میں لامحدود چیزوں کا خلاصہ ہوتا ہے۔
    • متبادل کے ذریعہ ضم کریں۔
    • غیر معینہ اجزا کا حساب لگائیں۔
    • حصوں کے ذریعے ضم کریں۔

12. 

    جانتے ہو کہ انضمام فرق اور اس کے برعکس ہے۔ یہ کیلکولس کا ایک آہنی اصول ہے جو اتنا اہم ہے ، اس کا اپنا نام ہے: کلکولوس کا بنیادی نظریہ۔ چونکہ انضمام اور تفریق اتنے قریب سے جڑے ہوئے ہیں ، لہذا ان میں سے دونوں کا ایک مرکب تبدیلی ، رفتار ، رفتار ، مقام ، نقل و حرکت وغیرہ کی شرح تلاش کرنے کے لئے استعمال کیا جاسکتا ہے اس سے قطع نظر کہ آپ کے پاس جو بھی معلومات ہے۔
    • مثال کے طور پر ، یاد رکھیں کہ رفتار کا مشتق ایکسلریشن ہے ، لہذا آپ سرعت کو تلاش کرنے کے ل speed رفتار کا استعمال کرسکتے ہیں۔ لیکن اگر آپ کو صرف کسی چیز کی تیزرفتاری کا پتہ چلتا ہے (جیسے کشش ثقل کی وجہ سے گرنے والی چیزیں) ، تو آپ اس کی رفتار تلاش کرنے کے لئے اسے مربوط کرسکتے ہیں!

13. 

    جانتے ہو کہ انضمام 3D اشیاء کا حجم بھی تلاش کرسکتا ہے۔ چاروں طرف فلیٹ شکل گھومنا 3D ٹھوس چیزیں بنانے کا ایک طریقہ ہے۔ اپنے سامنے ٹیبل پر ایک سکے کی کتائی کا تصور کریں - دیکھیں کہ جب یہ گھومتا ہے تو یہ دائرہ کیسا بنتا ہے۔ آپ اس تصور کو ایک عمل میں حجم تلاش کرنے کے لئے استعمال کرسکتے ہیں جسے "گھماؤ کے حساب سے حجم" کے نام سے جانا جاتا ہے۔
    • اس سے آپ کو دنیا میں کسی بھی ٹھوس کا حجم معلوم ہوجاتا ہے ، جب تک کہ آپ کے پاس کوئی ایسا فنکشن ہو جو اس کا آئینہ دار ہو۔ مثال کے طور پر ، آپ ایک ایسا فنکشن کرسکتے ہیں جو جھیل کے نیچے کا پتہ لگاتا ہے ، اور پھر اس جھیل کا حجم معلوم کرنے کے لئے ، یا اس میں کتنا پانی ہے اس کا استعمال کرسکتے ہیں۔

برادری کے سوالات اور جوابات

اشارے

• اپنے استاد سے مشورہ کرکے اپنے مسائل کو دور کریں۔
• پریکٹس کامل بناتی ہے ، لہذا آپ کی درسی کتاب میں بھی مشق کے مسائل پیدا کریں - حتی کہ آپ کے اساتذہ نے انہیں تفویض نہیں کیا تھا - اور تصورات کو سمجھنے میں مدد کے ل to اپنے جوابات کی جانچ کریں۔