مواد

• اقدامات
• اشارے

بائنومیئلز ایک متغیر (x، a، 3x، 4t، 1090y) پر مشتمل چھوٹی ریاضی کے تاثرات ہیں جو مستقل (1، 3، 110، وغیرہ) میں شامل یا گھٹ جاتے ہیں۔ بائنومیئلز میں ہمیشہ صرف دو شرائط ہوں گی ، لیکن وہ بہت بڑے اور زیادہ پیچیدہ مساوات کے اجزاء ہیں جو کثیرالعزیز کے نام سے جانا جاتا ہے ، جس سے یہ سیکھنا انتہائی اہم ہوتا ہے۔ اس مضمون میں مختلف قسم کے دو گنا ضربوں کے بارے میں بات کی جائے گی ، لیکن انھیں الگ سے بھی سیکھا جاسکتا ہے۔

اقدامات

طریقہ 1 میں سے 3: دو ضربوں کو ضرب بنانا

1. 

   ریاضی کے الفاظ اور سوال کی قسموں کو سمجھیں۔ اگلے امتحان کے سوالوں کو حل کرنا ناممکن ہوگا اگر آپ کو معلوم نہیں کہ وہ کیا پوچھ رہے ہیں۔ خوش قسمتی سے ، اصطلاحات بہت آسان ہے:
   • شرائط: ایک اصطلاح محض مساوات کا ایک حصہ ہے جو جوڑ یا گھٹانا ہے۔ یہ مستقل ، متغیر ، یا دونوں ہوسکتا ہے۔ مثال کے طور پر ، 12 + 13x + 4x میں ، شرائط ہیں 12,13x ، اور 4x
   • دوئم: بطور "دو اصطلاحات والا اظہار" کہنے کا یہ صرف ایک پیچیدہ طریقہ ہے x + 3 یا x - 3x۔
   • طاقتیں: اس سے مراد کسی اصطلاح کا خاتمہ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر ، آپ یہ کہہ سکتے ہیں کہ x "x à" ہے دوسری طاقت یا دو تک اٹھائے گئے۔’
   • کوئی سوال جو "دو بایومینیال (x + 3) (x + 2) کی شرائط تلاش کریں ،" "دو بایومینیال کی مصنوعات تلاش کریں" یا "دو بنوومائل کو بڑھاو" سے پوچھتا ہے تو ، آپ کو دو بائنوملز کو ضرب دینے کے لئے کہہ رہا ہے۔

2. 

   
   
   مختصر بازی ضوابط کے آرڈر کو یاد رکھنے کے لئے FOIL کا مخفف سیکھیں۔ FOIL ایک انگریزی طریقہ ہے جس میں دو دو ماہی کی ضرب کی رہنمائی ہوتی ہے۔ FOIL سے مراد وہ آرڈر ہے جس میں آپ کو بائنوملز کے حصوں کو ضرب کرنے کی ضرورت ہے: F کا مطلب ہے پہلا (پہلا) ، او ہے باہر (باہر سے) ، میرا مطلب ہے اندرونی (اندر سے) اور ایل کے لئے ہے آخری (آخری) - پہلے وہ باہر ، پھر اندر کے۔ نام اس ترتیب کا حوالہ دیتے ہیں جس میں شرائط لکھی گئی ہیں۔ فرض کریں کہ آپ بائنومیئلز (x + 2) اور (x + 5) کو ضرب دے رہے ہیں۔ شرائط یہ ہوں گی:
   • پہلا: x اور x
   • بیرونی: x اور 5
   • اندرونی: 2 اور ایکس
   • آخری: 2 & 5

3. 

   
   
   ہر قوسین میں پہلے حصے کو ضرب دیں۔ یہ FOIL کے لئے "F" ہے۔ ہماری مثال میں ، (x + 2) (x + 5) ، پہلی اصطلاحات "x" اور "x" ہیں۔ ان کو ضرب دیں اور جواب لکھیں: "x۔"
   • پہلی شرائط: x * x = x

4. 

   ہر قوسین کے بیرونی حصوں کو ضرب دیں۔ یہ ہمارے مسئلے کی سب سے خارجی "اشارے" ہیں۔ لہذا ، ہماری مثال (x + 2) (x + 5) میں ، یہ نکات "x" اور "5" ہوں گے۔ ایک ساتھ ، ان کا نتیجہ "5x" بنتا ہے
   • باہر کی شرائط: x * 5 = 5x

5. 

   
   
   ہر قوسین کے کچھ حصے ضرب دیں۔ دو اعداد جو مرکز کے قریب ہیں وہ اندر کی اصطلاح ہوگی۔ (x + 2) (x + 5) میں ، اس کا مطلب یہ ہے کہ آپ کو "2" حاصل کرنے کے لئے "2" کو "x" سے ضرب کرنا ہوگا۔
   • شرائط کے اندر: 2 * x = 2x

6. 

   ہر قوسین کے آخری حصوں کو ضرب دیں۔ یہ نہیں آخری دو نمبروں کا مطلب ہے ، لیکن ہر قوسین میں آخری نمبر۔ لہذا ، (x + 2) (x + 5) میں ، "10" حاصل کرنے کے لئے "2" اور "5" کو ضرب دیں۔
   • آخری شرائط: 2 * 5 = 10

7. 

   تمام شرائط شامل کریں۔ ایک نئے اور بڑے تاثرات پیدا کرنے کیلئے ایک ساتھ مل کر شرائط کو جوڑیں۔ پچھلی مثال سے ، ہم مساوات حاصل کرتے ہیں:
   • x + 5x + 2x + 10

8. 

   شرائط کو آسان بنائیں۔ اسی طرح کی شرائط ایک مساوات کے حصے ہیں جو ایک جیسے متغیر اور طاقت رکھتے ہیں۔ ہماری مثال میں ، 2x اور 5x دونوں شرائط میں ایکس کا اشتراک ہوتا ہے اور اسے ایک ساتھ شامل کیا جاسکتا ہے۔ اب اسی طرح کی کوئی اصطلاح باقی نہیں رہی ہے ، لہذا وہ اچھ .ی رہ گئی ہیں۔
   • آخری جواب: (x + 2) (x + 5) = x + 7x + 10
   • اعلی درجے کی نوٹ: اسی طرح کی اصطلاحات کیسے کام کرتی ہیں یہ جاننے کے لئے ، ضرب کی مبادیات کو یاد رکھیں۔ 3 * 5 ، مثال کے طور پر ، اس کا مطلب یہ ہے کہ آپ 15 (5 + 5 + 5) حاصل کرنے کے لئے پانچ تین بار جوڑ رہے ہیں۔ ہمارے مساوات میں ، ہمارے پاس 5 * x (x + x + x + x + x) اور 2 * x (x + x) ہے۔ اگر ہم مساوات میں تمام "x" کو شامل کرتے ہیں تو ہمیں سات "x" یا 7x مل جاتے ہیں۔

9. 

   یاد رکھیں کہ منفی نمبرات منفی ہیں۔ جب ایک نمبر کو گھٹایا جارہا ہے تو ، یہ ایک منفی نمبر شامل کرنے کے مترادف ہے۔ اگر آپ حساب میں منفی کی علامت رکھنا بھول جاتے ہیں تو ، آپ کو غلط جواب کے ساتھ ختم کردیں گے۔ مثال کے طور پر دیکھیں (x + 3) (x-2):
   • پہلا: x * x = x
   • باہر: x * -2 = -2x
   • اندر سے: 3 * x = 3x
   • تازہ ترین: 3 * -2 = -6
   • تمام شرائط شامل کریں: x - 2x + 3x - 6
   • جواب آسان کریں:x + x - 6

طریقہ 3 میں سے 2: دو سے زیادہ دو ماہی ضربوں کا ضرب لگانا

1. 

   عارضی طور پر تیسری کو نظر انداز کرتے ہوئے پہلی دو بائنیملز کو ضرب دیں۔ مثال کے طور پر دیکھیں (x + 4) (x + 1) (x + 3) ہمیں ایک وقت میں ایک دو بار ضرب لگانے کی ضرورت ہے ، لہذا دو کو FOIL یا مدتی تقسیم سے ضرب کریں۔ پہلے دو ، (x + 4) اور (x + 1) کو FOIL کے ساتھ ضرب کرنا مندرجہ ذیل ہوں گے:
   • پہلا: x * x = x
   • باہر: 1 * x = x
   • اندر سے: 4 * x = 4x
   • تازہ ترین: 1*4 = 4
   • شرائط کو یکجا کریں: x + x + 4x + 4
   • (x + 4) (x + 1) = x + 5x +4

2. 

   بقیہ کو نئی مساوات کے ساتھ جوڑ دیں۔ اب اس مساوات کا ایک حصہ ضرب ہو گیا ہے ، آپ باقی بائنومیئل سے نمٹ سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر (x + 4) (x + 1) (x + 3) ، باقی اصطلاح (x + 3) ہے۔ اسے نئی مساوات کے ساتھ رکھیں ، جس میں یہ ہے: (x + 3) (x + 5x + 4)

3. 

   بایومینیال میں پہلی تعداد کو دوسرے قوسین میں تینوں نمبروں سے ضرب دیں۔ یہ شرائط کی تقسیم کے بارے میں ہے۔ لہذا ، مساوات (x + 3) (x + 5x + 4) میں ، آپ کو پہلے x کو دوسری قوسین کے تین حصوں ، "x ،" "5x ،" اور "4" سے ضرب کرنا ہوگا۔
   • (x * x) + (x * 5x) + (x * 4) = x + 5x + 4x
   • اس جواب کو لکھ کر بعد میں محفوظ کریں۔

4. 

   بایومینیال میں دوسرے نمبر کو دوسرے قوسین میں تینوں نمبروں سے ضرب دیں۔ مساوات لیں (x + 3) (x + 5x + 4) اب ، دوسرا حص ofہ کے دوسرے حص theے کو دوسرے قوسین کے تینوں حصوں "x ،" "5x ،" اور "4" سے ضرب دیں۔
   • (3 * x) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x + 15x + 12
   • یہ جواب پہلے کے قریب لکھیں۔

5. 

   ضرب کی دو مصنوعات شامل کریں۔ آپ کو پچھلے دو مراحل سے جواب اکٹھا کرنے کی ضرورت ہے ، کیونکہ وہ آپ کے حتمی جواب کے دو حصے بناتے ہیں۔
   • x + 5x + 4x + 3x + 15x + 12

6. 

   حتمی جواب حاصل کرنے کے لئے مساوات کو آسان بنائیں۔ کوئی بھی "مماثل" اصطلاح ، یا اصطلاحات جو ایک ہی متغیر اور طاقت (جیسے 5x اور 3x) کا اشتراک کرتے ہیں ، جواب کو آسان بنانے کے ل. شامل کیا جاسکتا ہے۔
   • 5x اور 3x فارم 8x
   • 4x اور 15x فارم 19x
   • (x + 4) (x + 1) (x + 3) = x + 8x + 19x + 12

7. 

   ضرب کے بڑے مسائل حل کرنے کیلئے تقسیم کا استعمال ہمیشہ کریں۔ چونکہ آپ کسی بھی لمبائی کے ضرب مساوات کے لئے اصطلاحی تقسیم کا استعمال کرسکتے ہیں ، لہذا آپ کے پاس اب وہ ٹولز موجود ہیں جن کی آپ کو بڑی پریشانیوں کو حل کرنے کی ضرورت ہے ، جیسے (x + 1) (x + 2) (x + 3)۔ اصطلاحی تقسیم یا FOIL کا استعمال کرتے ہوئے دو بائنیملز کو ضرب دیں اور پھر پہلے دو کے ساتھ حتمی بائنومیال کو ضرب دینے کے لئے اصطلاحی تقسیم کا استعمال کریں۔ درج ذیل مثال میں ، ہم FOIL (x + 1) (x + 2) کا استعمال کرتے ہیں اور پھر حتمی جواب حاصل کرنے کے لئے (x + 3) کے ساتھ شرائط تقسیم کرتے ہیں:
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 1) (x + 2) * (x + 3)
   • (x + 1) (x + 2) = x + 3x + 2
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 3: + 2) * (x + 3)
   • (x + 3x + 2) * (x + 3) = x + 3x + 2x + 3x + 9x + 6
   • جواب آسان کریں:x + 6x + 11x + 6

طریقہ 3 میں سے 3: مربع بائنوملز

1. 

   سمجھیں کہ "عام فارمولوں" کو کس طرح منظم کیا جائے۔ عام فارمولے کی مدد سے آپ ہر بار FOIL کا حساب کتاب کرنے کے بجائے نمبروں پر فٹ ہوجاتے ہیں۔ دوسری طاقت (یا مربع) جیسے (x + 2) ، یا تیسری طاقت ، جیسے (4y + 12) پر اٹھائے جانے والے بائنومیئلز کو آسانی سے پہلے سے موجود فارمولے میں فٹ کیا جاسکتا ہے ، جس سے ریزولوشن تیز تر ہوتا ہے اور آسان عام فارمولا تلاش کرنے کے ل we ، ہم تمام نمبروں کو متغیر کے ساتھ بدل دیتے ہیں۔ اس کے بعد ، آخر میں ، ہم صرف جواب میں نمبر ڈال سکتے ہیں۔ مساوات (a + b) سے شروع کریں ، جہاں:
   • متغیر کی اصطلاح ہے (جیسے 4y - 1, 2x + 3 ، وغیرہ)۔ اگر نمبر نہیں ہے تو ، پھر 1 = 1 ، چونکہ 1 * x = x۔
   • بی مستقل طور پر شامل یا گھٹانا ہے (جیسے x +) 10, t - 12).

2. 

   معلوم کریں کہ کون سے مربع بائنومیز کو دوبارہ لکھا جاسکتا ہے۔ (a + b) ہماری سابقہ ​​مثال سے کہیں زیادہ پیچیدہ معلوم ہوسکتا ہے ، لیکن یاد رکھنا ایک تعداد کو مربع کرنا صرف اسے خود ہی ضرب دے رہا ہے. لہذا آپ مساوات کو مزید معروف بنانے کے ل re اسے دوبارہ لکھ سکتے ہیں۔
   • (a + b) = (a + b) (a + b)

3. 

   نئی مساوات کو حل کرنے کے لئے FOIL کا طریقہ استعمال کریں۔ اگر ہم اس مساوات میں FOIL کو استعمال کرتے ہیں تو ، ہمیں ایک عام فارمولہ مل جاتا ہے جو ایسا لگتا ہے کہ کسی بھی دو جہتی ضرب کا حل لگتا ہے۔ یاد رکھیں کہ ضرب میں ، عوامل کی ترتیب نتیجہ کو تبدیل نہیں کرتی ہے۔
   • (a + b) (a + b) کے طور پر دوبارہ لکھیں۔
   • پہلا: a * a = a
   • اندر سے: b * a = ba
   • باہر: a * b = ab
   • تازہ ترین: b * b = b.
   • نئی شرائط شامل کریں: a + ba + ab + b
   • ملتی جلتی اصطلاحات: a + 2ab + b
   • اعلی درجے کی نوٹ: ضرب اور تقسیم خصوصیات خاص کرنے والوں کے ل work کام نہیں کرتی ہیں۔ (a + b) + b جیسا نہیں ہے۔ یہ ایک بہت عام غلطی ہے جو لوگ کرتے ہیں۔

4. 

   اپنی پریشانیوں کو حل کرنے کے لئے عمومی مساوات a + 2ab + b کا استعمال کریں۔ مساوات لیں (x + 2) FOIL کو دوبارہ استعمال کرنے کے بجائے ، ہم پہلی اصطلاح "a" میں اور دوسری اصطلاح "b" میں فٹ کرسکتے ہیں:
   • عام مساوات: a + 2ab + b
   • a = x، b = 2
   • x + (2 * x * 2) + 2
   • آخری جواب: x + 4x + 4۔
   • اصل مساوات ، (x + 2) (x + 2) میں FOIL کرکے آپ ہمیشہ اپنے حساب کو چیک کرسکتے ہیں۔ اگر حساب کتاب صحیح طریقے سے کیا گیا ہو تو آپ کو ہمیشہ ایک ہی جواب ملے گا۔
   • اگر کسی اصطلاح کو گھٹا لیا جاتا ہے تو ، اسے عام مساوات میں منفی رکھنا ضروری ہے۔

5. 

   عام اصطلاح میں پوری اصطلاح داخل کرنا یاد رکھیں۔ بائنومیئل (2x + 3) کو دیکھتے ہوئے ، یاد رکھیں کہ a = 2x ، نہ صرف a = 2. جب آپ کے پاس زیادہ پیچیدہ شرائط ہیں ، تو یہ یاد رکھنا ضروری ہے کہ 2 اور x دونوں اسکوائر ہیں۔
   • عام مساوات: a + 2ab + b
   • a اور b کو تبدیل کریں: (2x) + 2 (2x) (3) + 3
   • ہر اصطلاح کو کاراڈوڈو میں بلند کریں: (2) (x) + 14x + 3
   • جواب آسان کریں: 4x + 14x + 9

اشارے

• جیسے جیسے بائنومیئلز بڑے ہوتے جاتے ہیں ، آپ کو ایک زیادہ پیچیدہ نظریہ سیکھنے کی ضرورت ہوگی جس کو بائنومیئل توسیع کہا جاتا ہے۔