مواد

• اقدامات
• برادری کے سوالات اور جوابات
• اشارے

دوسرے حصے

جب سیدھی لکیریں دو جہتی گراف پر آپس میں ملتی ہیں ، تو وہ صرف ایک نقطہ پر ملتے ہیں ، جس کا بیان ایک - اور - رابطہ کاری کے ایک سیٹ کے ذریعہ کیا جاتا ہے۔ چونکہ دونوں لائنیں اس مقام سے گزرتی ہیں ، آپ جانتے ہو کہ - اور - کوآرڈینیٹ دونوں مساوات کو پورا کریں۔ کچھ اضافی تکنیکوں کی مدد سے ، آپ اسی طرح کی منطق کا استعمال کرتے ہوئے پیرابولاس اور دیگر چکوردک منحنی خطوط کو تلاش کرسکتے ہیں۔

اقدامات

طریقہ 1 میں سے 2: دو سیدھی لکیروں کی باڑ تلاش کرنا

1. 

   بائیں لائن پر ہر لائن کیلئے مساوات لکھیں۔ اگر ضروری ہو تو ، مساوات کو دوبارہ ترتیب دیں تو برابر علامت کے ایک طرف تنہا ہے۔ اگر مساوات استعمال ہوتی ہے یا اس کی بجائے ، اس اصطلاح کو الگ کریں۔ یاد رکھنا ، آپ دونوں طرف ایک ہی کارروائی کرکے شرائط کو منسوخ کرسکتے ہیں۔
   • اگر آپ مساوات کو نہیں جانتے ہیں تو ، انھیں اپنے پاس موجود معلومات کی بنیاد پر ڈھونڈیں۔
   • مثال: آپ کی دو لائنیں ہیں اور۔ دوسری مساوات میں تنہا آنے کے لئے ، ہر طرف 12 شامل کریں:

2. 

   
   
   مساوات کے دائیں رخ ایک دوسرے کے برابر رکھیں۔ ہم ایک نقطہ کی تلاش کر رہے ہیں جہاں دونوں لائنوں میں ایک جیسی اور اقدار ہیں۔ یہیں سے لکیریں عبور ہوتی ہیں۔ دونوں مساوات صرف بائیں جانب ہیں ، لہذا ہم جانتے ہیں کہ دائیں طرف ایک دوسرے کے برابر ہیں۔ ایک نیا مساوات لکھیں جو اس کی نمائندگی کرتا ہے۔
   • مثال: ہم جانتے ہیں اور ، لہذا۔

3. 

   
   
   x کے لئے حل کریں. نئے مساوات میں صرف ایک متغیر ہے ،. دونوں طرف ایک ہی آپریشن کرتے ہوئے ، الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے اس کو حل کریں۔ مساوات کے ایک طرف شرائط حاصل کریں ، پھر اسے شکل میں رکھیں۔ (اگر یہ ناممکن ہے تو ، اس حصے کے آخر تک جائیں۔)
   • مثال:
   • ہر طرف شامل کریں:
   • ہر طرف سے 3 جمع کریں:
   • ہر طرف 3 سے تقسیم کریں:
   • .

4. 

   
   
   حل کرنے کے ل this اس ویلیو کا استعمال کریں۔ دونوں لائن کے لئے مساوات کا انتخاب کریں۔ مساوات میں سے ہر ایک کو اپنے جواب کے ساتھ تبدیل کریں۔ حل کرنے کے لئے ریاضی کو کریں۔
   • مثال: اور

5. 

   اپنا کام چیک کریں۔ یہ بہتر ہے کہ آپ اپنی قیمت کو دوسرے مساوات میں ڈالیں اور دیکھیں کہ کیا آپ کو بھی وہی نتیجہ ملتا ہے۔ اگر آپ کو کوئی مختلف حل مل جاتا ہے تو ، واپس جاکر غلطیوں کے لئے اپنے کام کی جانچ کریں۔
   • مثال: اور
   • یہ وہی جواب ہے جو پہلے تھا۔ ہم نے کوئی غلطی نہیں کی۔

6. 

   چوراہے کے نقاط اور نقاط لکھ دو۔ آپ نے اب اس نکتہ کے قیمت اور قیمت کے ل solved حل کرلیا ہے جہاں دو لائنیں آپس میں ملتی ہیں۔ نقاط کو مربوط جوڑی کے طور پر لکھیں ، جس کی قیمت پہلے نمبر کے ساتھ ہوگی۔
   • مثال: اور
   • دونوں لائنیں آپس میں ملتی ہیں (3،6)

7. 

   غیر معمولی نتائج سے نمٹنا۔ کچھ مساوات حل کرنا ناممکن بناتے ہیں۔ اس کا ہمیشہ مطلب یہ نہیں کہ آپ نے غلطی کی۔ لائنوں کا ایک جوڑا ایک خاص حل پیدا کرنے کا سبب بن سکتا ہے۔
   • اگر دونوں لکیریں متوازی ہیں تو ، وہ آپس میں نہیں پڑتیں۔ شرائط منسوخ ہوجائیں گی ، اور آپ کی مساوات جھوٹے بیان (جیسے) میں آسان ہوجائے گی۔ لکھیں "لکیریں آپس میں نہیں پڑتیں"یا کوئی حقیقی حل نہیں"آپ کے جواب کے طور پر.
   • اگر دونوں مساوات ایک ہی لائن کی وضاحت کرتے ہیں تو ، وہ ہر جگہ "ایک دوسرے کو پار کرتے ہیں"۔شرائط منسوخ ہوجائیں گی اور آپ کی مساوات ایک صحیح بیان (جیسے) میں آسان ہوجائے گی۔ لکھیں "دونوں لائنیں ایک جیسی ہیں"آپ کے جواب کے طور پر.

طریقہ 2 کا 2: چوکور مساوات میں دشواری

1. 

   چوکور مساوات کو پہچانیں۔ چوکور مساوات میں ، ایک یا زیادہ متغیرات کا مربع (یا) ہوتا ہے ، اور اس سے زیادہ اعلی طاقتیں نہیں ہوتی ہیں۔ یہ مساوات جن لائنوں کی نمائندگی کرتی ہیں وہ مڑے ہوئے ہیں ، لہذا وہ 0 ، 1 ، یا 2 پوائنٹس پر سیدھی لائن کو ایک دوسرے کو پار کر سکتی ہیں۔ یہ سیکشن آپ کو سکھائے گا کہ آپ کی پریشانی کے 0 ، 1 ، یا 2 حل تلاش کرنے کا طریقہ۔
   • قوسین کے ساتھ مساوات کو وسعت دیں تاکہ یہ معلوم ہوسکے کہ آیا وہ چکنی ہے۔ مثال کے طور پر ، چوکور ہے ، چونکہ یہ پھیلتا ہے
   • دائرہ یا بیضویت کے مساوات دونوں ایک اور ایک اصطلاح۔ اگر آپ کو ان خصوصی معاملات سے پریشانی ہو رہی ہے تو ، نیچے دیئے گئے نکات کا سیکشن دیکھیں۔

2. 

   مساوات کو y کے لحاظ سے لکھیں۔ اگر ضروری ہو تو ، ہر مساوات کو دوبارہ سے لکھیں تاکہ آپ ایک طرف اکیلے ہوں۔
   • مثال: اور کا چوراہا تلاش کریں۔
   • مربع مساوات کو y کے لحاظ سے دوبارہ لکھیں:
   • اور.
   • اس مثال میں ایک چوکور مساوات اور ایک لکیری مساوات ہے۔ دو چوکور مساوات والی دشواریوں کو اسی طرح حل کیا جاتا ہے۔

3. 

   دونوں مساوات کو یکجا کرکے y کو منسوخ کریں۔ ایک بار جب آپ دونوں مساوات کو y کے برابر کر لیتے ہیں ، تو آپ جانتے ہو کہ y کے بغیر دونوں فریق ایک دوسرے کے برابر ہیں۔
   • مثال: اور

4. 

   نیا مساوات ترتیب دیں تاکہ ایک طرف صفر کے برابر ہو۔ تمام شرائط کو ایک طرف حاصل کرنے کے لئے معیاری الجبری تکنیک کا استعمال کریں۔ اس سے پریشانی قائم ہوگی تاکہ ہم اسے اگلے مرحلے میں حل کرسکیں۔
   • مثال:
   • ہر طرف سے X کو گھٹائیں:
   • ہر طرف سے 7 کو منقطع کریں:

5. 

   چوکور مساوات کو حل کریں. ایک بار جب آپ ایک طرف صفر کے برابر مقرر کرلیتے ہیں تو ایک چکنی مساوات کو حل کرنے کے تین طریقے ہیں۔ مختلف لوگوں کو مختلف طریقے آسان معلوم ہوتے ہیں۔ آپ چوکورک فارمولے کے بارے میں یا "مربع مکمل کرنے" کے بارے میں پڑھ سکتے ہیں ، یا فیکٹرنگ کے طریقہ کار کی اس مثال کے ساتھ عمل کرسکتے ہیں:
   • مثال:
   • فیکٹرنگ کا مقصد ان مساوات کو بنانے کے لئے دو عنصروں کو ڈھونڈنا ہے جو آپس میں مل جاتے ہیں۔ پہلی اصطلاح کے ساتھ ، ہم جانتے ہیں کہ x اور x میں تقسیم ہوسکتا ہے۔ اسے ظاہر کرنے کے لئے (x) (x) = 0 لکھیں۔
   • آخری اصطلاح -6 ہے۔ عوامل میں سے ہر ایک کی فہرست بنائیں جو منفی چھ بنانے کے لئے ضرب دیتے ہیں: ، ، ، اور۔
   • درمیانی مدت x ہے (جسے آپ 1x لکھ سکتے ہیں)۔ عوامل میں سے ہر ایک کو شامل کریں جب تک کہ آپ کو جواب کے طور پر 1 نہ ملے۔ عوامل کی صحیح جوڑی ہے ، چونکہ۔
   • اس جوڑے کے عوامل سے اپنے جواب میں پائے گئے خلا کو پُر کریں۔

6. 

   ایکس کیلئے دو حل تلاش کرنے کے لئے نظر رکھیں۔ اگر آپ بہت تیزی سے کام کرتے ہیں تو ، آپ کو مسئلے کا ایک حل مل سکتا ہے اور اس کا احساس نہیں ہوگا کہ کوئی دوسرا حل نکل سکتا ہے۔ یہ ہے کہ لائنوں کے ل two دو ایکس ویلیوز کو کیسے ڈھونڈیں جو دو پوائنٹس پر آپس میں ملتی ہیں۔
   • مثال (فیکٹرنگ): ہم مساوات کے ساتھ ختم ہوئے۔ اگر قوسین میں سے ایک عنصر 0 کے برابر ہے تو ، مساوات درست ہے۔ ایک حل → ہے۔ دوسرا حل → ہے۔
   • مثال (مربع مساوات یا مربع مکمل کریں): اگر آپ اپنے مساوات کو حل کرنے کے لئے ان طریقوں میں سے کسی ایک کا استعمال کرتے ہیں تو ، مربع جڑ ظاہر ہوگی۔ مثال کے طور پر ، ہمارا مساوات بن جاتا ہے۔ یاد رکھیں کہ مربع جڑ دو مختلف حلوں کو آسان بنا سکتا ہے: ، اور . ہر ایک امکان کے ل two دو مساوات لکھیں ، اور ہر ایک میں x کے لئے حل کریں۔

7. 

   ایک یا صفر حل سے مسائل حل کریں۔ بمشکل چھونے والی دو لائنوں میں صرف ایک چوراہا ہوتا ہے ، اور دو لائنیں جن کو کبھی نہیں چھوتا وہ صفر نہیں ہوتا ہے۔ ان کو پہچاننے کا طریقہ یہاں ہے:
   • ایک حل: دو ایک جیسے عوامل (x-1) (x-1) = 0) میں پریشانی کا عنصر۔ جب چوکور فارمولے میں پلگ ان ہو تو ، مربع روٹ اصطلاح ہے۔ آپ کو صرف ایک مساوات حل کرنے کی ضرورت ہے۔
   • کوئی حقیقی حل نہیں: ایسے عوامل نہیں ہیں جو تقاضوں کو پورا کرتے ہیں (درمیانی مدت کا خلاصہ)۔ جب چوکور فارمولے میں پلگ ان ہوجائے تو ، آپ کو مربع روٹ علامت (جیسے) کے تحت منفی نمبر ملتا ہے۔ اپنے جواب کے طور پر "کوئی حل نہیں" لکھیں۔

8. 

   اپنی ایکس ویلیوز کو اصل مساوات میں واپس پلگائیں۔ ایک بار جب آپ اپنے چوراہے کی ایکس ویلیو حاصل کرلیتے ہیں تو ، اسے ایک ہی مساوات میں پلگ ان کریں جس کے ساتھ آپ نے آغاز کیا تھا۔ y کی قیمت تلاش کرنے کے لئے y کے لئے حل کریں۔ اگر آپ کا دوسرا ایکس ویلیو ہے تو ، اس کے لئے بھی دہرائیں۔
   • مثال: ہمیں دو حل ملے ، اور. ہماری ایک لائن میں مساوات ہے۔ پلگ ان کریں اور پھر اس کی تلاش کے ل each ہر مساوات کو حل کریں۔

9. 

   نکتہ نقاط لکھیں۔ اب آپ کے جواب کو مربوط شکل میں لکھیں ، چوراہا پوائنٹس کی ایکس ویلیو اور وائی ویلیو کے ساتھ۔ اگر آپ کے دو جوابات ہیں تو ، یہ یقینی بنائیں کہ آپ ہر y- قدر کے ساتھ صحیح x- قیمت سے ملتے ہیں۔
   • مثال: جب ہم پلگ ان کرتے ، تو ہمیں مل گیا ، لہذا ایک چوراہا قریب ہے (2, 9). ہمارے دوسرے حل کے لئے بھی یہی عمل ہمیں ایک اور چوراہا بتاتا ہے (-3, 4).

برادری کے سوالات اور جوابات

F (x) = 2 ^ 2 = 12x + 10، g (x) = 38

مجھے شک ہے کہ آپ نے اس مسئلہ کی غلطی نقل کی ہے۔ میں پہلے اس کے ساتھ معاملہ کروں گا جو آپ نے پہلے لکھا تھا ، اور پھر میں اس کے بارے میں بات کروں گا جس کے بارے میں مجھے لگتا ہے کہ آپ کا مطلب ہوسکتا ہے۔ جیسا کہ لکھا گیا ہے ، پہلا فنکشن F (x) = 2 ^ 2 = 12x + 10 کہتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں ، یہ ایک آسان متغیر مساوات ہے جو 4 = 12x + 10 میں آسان ہے۔ پھر -6 = 12x حاصل کرنے کے لئے دونوں اطراف سے 10 کو گھٹائیں۔ آخر میں ، دونوں اطراف کو 12 سے تقسیم کریں -1/2 = x حاصل کریں۔ اب آپ کے پاس دو مختلف افعال ہیں ، ہر ایک میں ایک متغیر ہے۔ F (x): x = -1 / 2 ، اور G (x): x = 38۔ کوئی بھی فنکشن جس میں صرف ایک متغیر ہے ، x = __ ، اس قدر میں عمودی سیدھی لائن ہوگی۔ نتیجے کے طور پر ، یہ دونوں لائنیں کبھی آپس میں مٹ نہیں سکیں گی ، اور بیک وقت F (x) اور G (x) کے لئے کوئی واحد حل نہیں ہے۔ یہ کوئی دلچسپ حل نہیں ہے ، جس سے مجھے لگتا ہے کہ آپ نے غلط کاپی کی ہے۔ میرا خیال ہے کہ آپ کا شاید F (x) = x ^ 2 + 12x + 10 ہے۔ میرے خیال میں آپ نے x ^ 2 کی بجائے 2 ^ 2 لکھا ہے ، اور پھر آپ نے ایک + علامت کو بیچ کے بیچ میں ایک = علامت میں تبدیل کردیا تقریب (زیادہ تر کی بورڈ پر + اور = ایک ہی بٹن ہوتے ہیں۔) یہ اور زیادہ دلچسپ مسئلہ بن جاتا ہے۔ اب آپ پہلے فنکشنور پر کام کرسکتے ہیں ، لیکن آپ کو اتنا کام کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ اگر آپ نے نوٹ کیا تو ، دوسرا فنکشن جی (ایکس) پہلے ہی حل ہوگیا ہے۔ یہ سنگل ویلیو ہے ، جی (ایکس) = 38۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اس فنکشن کا گراف سیدھا عمودی لکیر ہے۔ لائن کے ہر نقطہ پر ، x = 38۔ تو سسٹم کو حل کرنے کے ل، ، پہلے مساوات میں x کی قدر 38 ڈالیں: F (x) = 38 ^ 2 + 12 (38) +10۔ یہ 1444 + 456 + 10 کے برابر ہے ، جو F (x) = 1910 ہے۔ تو وہ حل جہاں ان دونوں گراف کو عبور کیا جائے وہ x = 38 ، y = 1910 ہے۔ آپ کوآرڈینیٹ جوڑی بطور (38،1910) لکھ سکتے ہیں۔

جب لکیریں آپس میں مل جاتی ہیں (3،6) ، تو کیا دو لائنوں کی نمائندگی ہوسکتی ہے؟

لائنیں x = 3 اور y = 6 ہوسکتی ہیں۔

میں سیدھے لکیر پر دو مساوات کے چوراہے کے پوائنٹس کیسے حاصل کرسکتا ہوں؟

اگر آپ دو لکیری (سیدھی لائن) مساوات کے بارے میں پوچھ رہے ہیں تو ، صرف ایک نقطہ چوراہا ہوگا۔ مذکورہ بالا طریقہ 1 میں اس کی وضاحت کی گئی ہے۔

میرے پاس 2 لائنیں ہیں جو آپس میں ملتی ہیں۔ میں ایک ہی نامعلوم ایکس پر لائنوں کی ڈھلوان اور ہر لائن کی ایک Y قدر جانتا ہوں۔ میں چوراہا نقطہ کیسے تلاش کروں؟

چونکہ متعین کردہ نکات کی x قیمت معلوم نہیں ہے ، لہذا آپ کو معلوم نہیں ہوگا کہ مخصوص نکات کہاں کھڑے ہیں ، اور لہذا آپ کو لائنوں کا y- انٹرپیس یا ان کی ڈھلوان-وقفہ مساوات نہیں مل سکتی ہیں۔ لہذا ، آپ چوراہے کے مقام کا تعین نہیں کرسکتے ہیں۔

اگر مساوات پیدا نہیں ہوتی تو کیا ہوگا؟

یاد رکھنا کہ فیکٹرنگ صرف چوکور مساوات کے ساتھ کام کرتی ہے۔ اگر اسکوائر مکمل کرنے سے کام نہیں چلتا ہے تو ، اسکوڈریٹک مساوات اور اس کے برعکس استعمال کرنے کی کوشش کریں۔

اگر وہاں الگ تھلگ متغیر نہیں ہے تو کیا ہوگا؟ مثال کے طور پر ، 4x + 10y = 5 اور 5x + 8y = 5

یا تو خود کو متغیر کریں۔ مثال کے طور پر ، پہلے مساوات میں ، ایکس کو الگ الگ کریں اور دونوں طرف سے 10y گھٹائیں اور پھر دونوں اطراف کو 4 سے تقسیم کریں اور الگ کریں اور y کے لئے دونوں اطراف سے 4x گھٹا کر اور پھر دونوں اطراف کو 10 سے تقسیم کرکے حل کریں۔

x + y = -3 اور -x + y = 3 کے ایک دوسرے کو ایک دوسرے کو جوڑنے والے پوائنٹس کیا ہیں؟

چونکہ ہر مساوات ایک سیدھی لائن کی نمائندگی کرتی ہے ، لہذا یہاں چوراہے کا صرف ایک نقطہ ہوگا۔ X اور y کے لئے حل کرنے کا آسان ترین طریقہ یہ ہے کہ دونوں مساوات کو ایک ساتھ جوڑیں (بائیں بازو کو ایک ساتھ جوڑ کر ، دائیں اطراف کو ایک ساتھ شامل کریں اور دونوں کی رقم ایک دوسرے کے برابر رکھیں): (x + y) + (-x + ی) = (-3) + (3)۔ پھر 2y = 0 ، اور y = 0. x کی قیمت تلاش کرنے کیلئے y قدر کو کسی بھی مساوات میں تبدیل کریں: x + 0 = -3 ، اور x = -3۔ تو دونوں لائنوں کے چوراہے کا نقطہ (-3،0) ہے۔

چوراہے کے نقطہ نظر اور ایک عمودی لائن سے گزرنے والی لائن کو میں کیسے تلاش کروں؟

چوکور مساوات -b (مربع جڑ) b ^ 2-4ac / 2a استعمال کریں۔

• 
  
  میں کس طرح الجبرائی طور پر ظاہر کرسکتا ہوں کہ P (x) = x ^ 2 - 4x + 5 اور L (x) = 3 - 2x آپس میں نہیں ملتے ہیں۔ جواب

اشارے

• دائرے یا بیضویت کے مساوات کی ایک اصطلاح ہوتی ہے اور ایک اصطلاح. دائرہ اور سیدھی لائن کا چوراہا تلاش کرنے کے ل line ، لکیری مساوات میں x کے لئے حل کریں۔ دائرہ مساوات میں ایکس کے لئے حل کو متبادل بنائیں ، اور آپ کو آسانی سے چاروں طرف مساوات مل جائے گی۔ ان مسائل میں 0 ، 1 ، یا 2 حل ہوسکتے ہیں ، جیسا کہ اوپر کے طریقہ کار میں بیان کیا گیا ہے۔
• ایک دائرے اور پیرابولا (یا دیگر چوکور) میں 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، یا 4 حل ہوسکتے ہیں۔ متغیر کو تلاش کریں جو دونوں مساوات میں مربع ہے - چلیں ہم کہتے ہیں کہ یہ ایکس ہے۔ دوسرے مساوات میں اس کا جواب تلاش کریں اور اس کا متبادل بنائیں۔ 0 ، 1 ، یا 2 حل حاصل کرنے کے لئے y کے لئے حل کریں۔ ہر حل کو اصلی چکنی مساوات میں پلگ کریں اور x کے لئے حل کریں۔ ان میں سے ہر ایک میں 0 ، 1 ، یا 2 حل ہوسکتے ہیں۔