مواد

• اقدامات
• اشارے

ریاضی دانوں اور گرافکس پروگرامرز کو اکثر دو ویکٹر کے مابین زاویہ تلاش کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ خوش قسمتی سے ، اس زاویے کا حساب لگانے کے لئے استعمال ہونے والا فارمولا ایک عام اسکیلر مصنوع کے علاوہ کچھ نہیں درکار ہوتا ہے۔ اگرچہ دو جہتی ویکٹر کا استعمال کرتے وقت اس فارمولے کے پیچھے استدلال کو سمجھنا آسان ہے ، لیکن ہم اسے آسانی سے کسی بھی تعداد میں جزو کے ساتھ ویکٹر میں ڈھال سکتے ہیں۔

اقدامات

حصہ 1 کا 1: دو ویکٹر کے مابین زاویہ کا حساب لگائیں

1. 

   دو ویکٹر کی شناخت کریں۔ دو ویکٹر کے بارے میں تمام معلوم معلومات لکھ دیں۔ اس ٹیوٹوریل کے مقصد کے ل we ، ہم یہ فرض کریں گے کہ آپ صرف ویکٹر کو ان کے جہتی نقاط (جس کو بھی کہا جاتا ہے) کے لحاظ سے جانتے ہیں۔ اجزاء). اگر آپ پہلے ہی جانتے ہیں ماڈیول یا معیار ان ویکٹروں میں سے (یعنی ان کی لمبائی) ، آپ ذیل میں سے کچھ اقدامات چھوڑ سکتے ہیں۔
   • مثال: ہم دو جہتی ویکٹر = (2،2) اور = (0،3) پر غور کریں گے۔ یہ دونوں ویکٹر = 2 کے طور پر دوبارہ لکھے جاسکتے ہیںمیں + 2j ای = 0میں + 3j = 3j.
   • اگرچہ ہماری مثال دو جہتی ویکٹر کا استعمال کرتی ہے ، لیکن ہم مندرجہ ذیل ہدایات کا اطلاق ویکٹر پر کسی بھی تعداد میں کر سکتے ہیں۔

2. 

   
   
   کوسین فارمولا لکھیں۔ کسی بھی دو ویکٹر کے مابین زاویہ the کی قدر معلوم کرنے کے ل we ، ہمیں پہلے اس زاویہ کے کوسین کا حساب لگانا ہوگا۔ آپ فارمولا کو تفصیل سے تلاش اور تلاش کرسکتے ہیں یا صرف نیچے لکھے ہوئے لکھ سکتے ہیں:
   • کاسθ = ​​(•) / (||||
   • |||| کی نمائندگی کرتا ہے ماڈیول (یا لمبائی) ویکٹر کی "۔
   • • کی نمائندگی کرتا ہے اسکیلر مصنوعات (یا اندرونی مصنوع) دو ویکٹروں کی۔

3. 

   
   
   ہر ویکٹر کے ماڈیولس کا حساب لگائیں۔ جزو کے ذریعہ قائم کردہ دائیں مثلث کا تصور کریں ایکس کسی ویکٹر کا ، اس کا جزو ہے y اور ویکٹر ہی. اس مثلث میں ، ویکٹر فرضی تصور کا کردار ادا کرتا ہے۔ لہذا ، اس کی لمبائی کا پتہ لگانے کے لئے ، ہم پائیٹاگورین تھیوریم کا اطلاق کریں گے۔ نتیجے کے طور پر ، یہ فارمولہ آسانی سے کسی بھی تعداد میں جزو والی ویکٹر پر لاگو ہوتا ہے۔
   • || یو || = یو₁ + یو₂. اگر ویکٹر کے دو سے زیادہ اجزاء ہیں تو ، صرف + یو شامل کرنا جاری رکھیں₃ + یو₄ +...
   • لہذا ، دو جہتی ویکٹر کے ل for ، ہمیں کرنا پڑے گا || یو || = √ (یو₁ + یو₂).
   • ہماری مثال میں ، |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   دو ویکٹر کے درمیان اسکیلر پروڈکٹ کا حساب لگائیں۔ آپ کو ضعیف ویکٹر کے لئے پہلے ہی طریقہ معلوم ہونا چاہئے ، جسے بھی کہا جاتا ہے اسکیلر مصنوعات. دو ویکٹروں کے اسکیلر مصنوع کو ان کے اجزاء کے لحاظ سے حساب کرنے کے ل To ، ہم ایک دوسرے کے ساتھ اجزاء کو ایک ہی سمت میں ضرب دیتے ہیں اور پھر ان مصنوعات کے نتائج شامل کرتے ہیں۔
   • اگر آپ کمپیوٹر گرافکس پروگراموں کے ساتھ کام کرتے ہیں تو ، آگے بڑھنے سے پہلے پہلے "ٹپس" سیکشن دیکھیں۔
   • ریاضی کے لحاظ سے ، • = یو₁v₁ + یو₂v₂، جہاں یو = (یو₁، آپ₂). اگر آپ کے ویکٹر میں دو سے زیادہ اجزاء ہیں تو ، صرف + یو شامل کرنا جاری رکھیں₃v₃ + یو₄v₄...
   • ہماری مثال میں ، • = u₁v₁ + یو₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. یہ ویکٹرز اور کے درمیان اسکیلر مصنوعات کی قدر ہے۔

5. 

   ان نتائج کو کوسین فارمولے میں شامل کریں۔ یاد رکھنا ، کوسθ = (•) / (||ypemitted || ||)۔ ہم پہلے ہی اسکیلر پروڈکٹ اور دو ویکٹر کے ماڈیول کا حساب کتاب کر چکے ہیں۔ اب ، آئیے ان اقدار کو فارمولہ میں تبدیل کریں اور زاویہ کے کوسین کا حساب لگائیں۔
   • ہماری مثال میں ، کاسθ = ​​6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2۔

6. 

   اپنے کوسائن پر مبنی زاویہ تلاش کریں۔
   زاویہ کا تعی toن کرنے کے لulator اپنے کیلکولیٹر کا آرک یا کوس فنکشن استعمال کریں۔ کچھ معاملات میں ، آپ اکائی دائرے کی بنیاد پر زاویہ کی قیمت تلاش کرسکیں گے۔
   • ہماری مثال میں ، کاسθ = ​​√2 / 2۔ زاویہ تلاش کرنے کے ل your اپنے کیلکولیٹر میں "آرکیوس (√2 / 2)" ٹائپ کریں۔ دوسرا آپشن یونٹ دائرے کے زاویہ for کی تلاش کرنا ہے جہاں کاسθ = ​​√2 / 2: یہ درست ہوگا θ = /₄ یا 45 °.
   • سبھی معلومات کو ایک ساتھ رکھتے ہوئے ، ہمارے پاس حتمی فارمولا will = آرکووسین ((•) / (||() || ||)) ہوگا۔

حصہ 2 کا 2: زاویہ کا حساب لگانے کے لئے فارمولا کی وضاحت

1. 

   فارمولے کا مقصد سمجھیں۔ جو فارمولا ہم دو ویکٹروں کے مابین زاویے کا حساب لگانے کے لئے استعمال کرتے تھے وہ پہلے سے موجود قواعد سے ماخوذ نہیں تھا۔ اس کے بجائے ، یہ دو ویکٹر اور ان کے درمیان زاویہ کے درمیان اسکیلر مصنوع کی تعریف کے طور پر تشکیل دیا گیا تھا۔ تاہم ، یہ فیصلہ صوابدیدی نہیں ہے۔ بنیادی جیومیٹری کو قریب سے دیکھنے کے ساتھ ، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ اس فارمولے کی وجہ سے ایسی مفید اور بدیہی تعریفیں کیوں نکلتی ہیں۔
   • درج ذیل مثالوں میں دو جہتی ویکٹر کا استعمال کیا گیا ہے کیونکہ وہ کام کرنے میں انتہائی بدیہی قسم ہیں۔ تین یا اس سے زیادہ طول و عرض کے ویکٹروں نے ان کی خصوصیات کو عام فارمولے سے متعین کیا ہے (یہ بھی ایک بہت ہی اسی طرح سے)۔

2. 

   کوسین قانون کا جائزہ لیں۔ کسی بھی مثلث میں ، اطراف کے ذریعہ تشکیل کردہ زاویہ پر غور کریں اور بی اور پہلو ç اس زاویے کے برعکس کوسائن قانون کے مطابق ، c = a + b -2abکمر بینڈ(θ) اس فارمولے کا مظاہرہ بنیادی جیومیٹری کے علم سے آسانی سے حاصل کیا جاسکتا ہے۔

3. 

   مثلث کی تشکیل کے لئے دو ویکٹر کو جوڑیں۔ ویکٹر کا ایک جوڑا بنائیں ، اور ، ایک زاویہ θ کے درمیان۔ پھر ، ایک مثلث بنانے کے لئے ان کے درمیان تیسرا ویکٹر کھینچیں۔ دوسرے لفظوں میں ، ویکٹر کو اپنی طرف متوجہ کریں کہ + = ، یا سیدھے = -۔

4. 

   اس مثلث پر کوسین قانون لاگو کریں۔ ہمارے اطراف کی لمبائی کو تبدیل کریں ویکٹر مثلث (یعنی ، ویکٹر ماڈیول) کوسین قانون کے فارمولے میں:
   • || (a - b) || = || ایک || + || بی || - 2 || ایک || || بی ||کمر بینڈ(θ)

5. 

   اسکیلر مصنوعات کا استعمال کرتے ہوئے فارمولہ کو دوبارہ لکھیں۔ یاد رکھیں کہ ڈاٹ پروڈکٹ ایک دوسرے ویکٹر کے پیش کردہ دوسرے ویکٹر کی توسیع ہے۔ خود ایک ویکٹر کے اسکیلر پروڈکٹ کو پروجیکشن کی ضرورت نہیں ہوتی ہے کیونکہ سمت میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ • = || ایک || اس معلومات کی بنیاد پر ، آئیے بحر الکاہل کے قانون کی مساوات کو دوبارہ لکھ لیں:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || ایک || || بی ||کمر بینڈ(θ)

6. 

   فارمولہ آسان کریں۔ مساوات کے بائیں جانب کی مصنوعات کو وسعت دیں اور پھر اسے اس وقت تک آسان بنائیں جب تک کہ آپ زاویوں کا حساب لگانے کے لئے ہمارے جانتے فارمولے تک نہیں پہنچ پاتے ہیں۔
   • • - • - • + • = • + • - 2 || ایک || || بی ||کمر بینڈ(θ)
   • - • - • = -2 || ایک || || بی ||کمر بینڈ(θ)
   • -2 (•) = -2 || ایک || || بی ||کمر بینڈ(θ)
   • . = || ایک || || بی ||کمر بینڈ(θ)

اشارے

• فوری حل کے ل، ، کسی بھی دو جہتی ویکٹر جوڑی پر درج ذیل فارمولہ کا اطلاق کریں: cosθ = (u)₁ . v₁ + یو₂ . v₂) / (√ (یو₁ آپ₂) • √ (v₁ . v₂)).
• اگر آپ کمپیوٹر گرافکس پروگراموں کے ساتھ کام کرتے ہیں تو ، آپ کو زیادہ تر ممکنہ طور پر صرف ویکٹر کی سمت جاننے کی ضرورت ہوگی ، نہ کہ ان کی لمبائی۔ مساوات کو آسان بنانے اور اپنے پروگرام کو تیز کرنے کے لئے ذیل اقدامات پر عمل کریں:
  • ہر ویکٹر کو معمول بنائیں ، یعنی یونٹ ویکٹر کو تلاش کریں جس کی سمت اصل ویکٹر کی طرح ہو۔ ایسا کرنے کے لئے ، ویکٹر کے ہر جزو کو ویکٹر ماڈیول کے ذریعہ تقسیم کریں۔
  • عام ویکٹروں کے اسکیلر پروڈکٹ کا حساب لگائیں ، اصل ویکٹروں کی نہیں۔
  • چونکہ عام شدہ ویکٹر کا ماڈیولس (یعنی لمبائی) اکائی ہے ، لہذا ہم انہیں فارمولے سے باہر چھوڑ سکتے ہیں۔ زاویوں کا حساب لگانے کے لئے آپ کی حتمی مساوات آرکس (•) ہوگی۔
• کوسائن قانون کے فارمولے کی بنیاد پر ، ہم جلدی سے یہ معلوم کرسکتے ہیں کہ سوال میں موجود زاویہ شدید ہے یا موٹاپا۔ کاسθ = ​​(•) / (||||
  • مساوات کے بائیں اور دائیں اطراف میں ایک ہی علامت (مثبت یا منفی) ہونی چاہئے۔
  • چونکہ طوالت ہمیشہ مثبت ہوتی ہے ، اس لئے ہمیشہ اسکیلر مصنوع کی طرح کا نشان ہوتا ہے۔
  • لہذا ، اگر اسکیلر پروڈکٹ مثبت ہے تو ، مثبت مثبت ہوگا۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ زاویہ یونٹ دائرے کے پہلے چوتھائی میں ہے ، یعنی θ <π / 2 یا 90 °۔ لہذا ، زاویہ شدید ہے۔
  • اگر اسکیلر پروڈکٹ منفی ہے تو ، کوسو منفی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ زاویہ اکائی کے دائرے کے دوسرے چکر میں ہے ، یعنی that / 2 <θ ≤ π یا 90 ° <θ ≤ 180 °۔ لہذا ، زاویہ obtuse ہے.